Cho R và R là hai vành. Ánh xạ f:R → {\displaystyle \to } R được gọi là đồng cấu vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R, nghĩa là với mọi a,b ∈ {\displaystyle \in } R:
f(a + b) =f(a) + f(b)
f(a.b) = f(a).f(b)
Nếu đồng cấu f là đơn ánh (hoặc toàn ánh) thì tương ứng f được gọi là đơn cấu vành(hoặc toàn cấu vành).
Nếu đồng cấu f là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu vành.
Nếu R'=R thì f được gọi là tự đồng cấu của vành R.
Nếu có đồng cấu (hoặc đẳng cấu)f từ vành R đến vành Rthì R được gọi là đồng cấu (hoặc đẳng cấu) với R.
Ví dụ
Ánh xạ không f: R \to R' cho f(x) = 0 với mọi x ∈ {\displaystyle \in } R là đồng cấu vành.
Ánh xạ đồng nhất của R là một tự đồng cấu của R.
Cho A là vành con của R. Ánh xạ nhúng j:A → {\displaystyle \to } R cho j(a)=a với mọi a ∈ {\displaystyle \in } A là một đơn cấu vành. Nó được gọi là đơn cấu chính tắc từ A vào R.
Cho A là ideal của R. Ánh xạ h:R → {\displaystyle \to } R/A cho h(x)=x+A là một toàn cấu, nó được gọi là toàn cấu chính tắc.
Tích (ánh xạ) của hai đồng cấu là đồng cấu. Tích (ánh xạ) của hai đẳng cấu là đẳng cấu.
Ảnh và hạt nhân của đồng cấu
Khái niệm
Cho đồng cấu vành f: R → {\displaystyle \to } R'.
Tập con của R gồm các phần tử của R có ảnh là phần tử không của R' được gọi là hạt nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Ker(f)Ker(f)={x ∈ {\displaystyle \in } R| f(x)=0}
Tập f(R) được gọi là ảnh của đồng cấu f, ký hiệu là Im(f).
Tính chất
Ker(f) là ideal của R và Im(f) là vành con của R'.
Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={0}
Với mọi đồng cấu f:R → {\displaystyle \to } R', Im(f) đẳng cấu với vành thương R/Ker(f).
